先膜 orz
基础
设lowbit(x)表示的是把x的二进制只留下最低一位的1，然后lowbit(x)=x&(-x) （我也不知道为什么）
设c[x]表示从i往前一共lowbit(x)个数的和，那么x-lowbit(x)就是c[x]表示的范围的前一个数。
然后可以得到c[x]=c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1]+c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1+lowbit(x)>>2]+c[x-lowbit(x)+lowbit(x)>>1+lowbit(x)>>2+lowbit(x)>>3]....+c[x-1]+a[x]。
也就是说，如果将这个关系做成一个树，x的父亲就是x+lowbit(x)（观察一下上面的式子，很容易发现每一项都满足）
要询问1到x的和的话，只要一直加c[x]，然后让x-=lowbit(x)直到x=0就好了
然后要修改一个点x的话，就一直往上修改它的父亲直到x>n就可以了。
也就是说，最基本的树状数组支持的是单点修改和前缀和查询，然后前缀和可以很容易地做成区间和（端点减一减）。
luogu3374
1 #include2 #include 3 #include 4 #define lowbit(x) ((x)&(-(x))) 5 #define LL long long int 6 const int maxn=500050; 7 8 inline int rd(){ 9 int x=0;char c=getchar();int neg=1;10 while(c<'0'||c>'9'){ if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}11 while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();12 return x*neg;13 }14 15 int N,M;16 LL c[maxn];17 18 inline void add(int x,int y){19 while(x&&x<=N) c[x]+=y,x+=lowbit(x);20 }21 inline LL query(int x){22 LL re=0;while(x) re+=c[x],x-=lowbit(x);return re;23 }24 25 int main(){26 int i,j,k;27 N=rd(),M=rd();28 for(i=1;i<=N;i++) add(i,rd());29 for(i=1;i<=M;i++){30 int a=rd(),b=rd(),c=rd();31 if(a==1) add(b,c);32 else printf("%lld\n",query(c)-query(b-1));33 }34 }
也可以支持区间修改和单点查询，只要做一个差分，区间修改就变成了两个端点的修改，单点查询就变成了前缀和查询。
luogu3368
1 #include2 #include 3 #include 4 #define lowbit(x) ((x)&(-(x))) 5 #define LL long long int 6 const int maxn=500050; 7 8 inline int rd(){ 9 int x=0;char c=getchar();int neg=1;10 while(c<'0'||c>'9'){ if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}11 while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();12 return x*neg;13 }14 15 int N,M;16 LL c[maxn];17 18 inline void add(int x,int y){19 while(x&&x<=N) c[x]+=y,x+=lowbit(x);20 }21 inline LL query(int x){22 LL re=0;while(x) re+=c[x],x-=lowbit(x);return re;23 }24 25 int main(){26 int i,j,k;27 N=rd(),M=rd();28 for(i=1,j=0;i<=N;i++){29 k=rd();add(i,k-j);j=k;30 };31 for(i=1;i<=M;i++){32 int a=rd(),b=rd();33 if(a==1){34 int c=rd(),d=rd();35 add(b,d);add(c+1,-d);36 }37 else printf("%lld\n",query(b));38 }39 }
升级
区间修改和区间查询也是可以支持的，然后我选择线段树......
树状数组写起来真方便，suki
$$前n项和\sum_{i=1}^{n}{a[i]}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{i}{d[j]}}（差分数组）=\sum_{i=1}^{n}{(n-i+1)d[i]}=(n+1)\sum_{i=1}^{n}{d[i]}-\sum_{i=1}^{n}{i*d[i]}$$
这样的话，只要同时维护d[i]和i*d[i]，就可以做到区间修改和区间查询了。
luogu3372
1 #include2 #include 3 #include 4 #include 5 #include 6 #include
二维的话也是可以做的，就相当于每跳到一个x都跳一遍y的lowbit，而且可以支持区间修改和区间查询
单点修改区间查询不多说，来说说区间修改和查询
仿照一维的形式，我们先得到差分数组
因为差分数组的前缀和就是原来那个点的值，所以能得到$d[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]$
所以如果是(x1,y1,x2,y2)区间加的话，就是给(x1,y1),(x2+1,y2+1)加，给(x1,y2+1),(x2+1,y1)减（手画一下）
然后是查询，也是有$(x1,y1,x2,y2)=S[x2][y2]-S[x1-1][y2]-S[x2][y1-1]+S[x1-1][y1-1]$
然后有
$$S[x][y]=\sum\limits_{i=1}^{x}{\sum\limits_{j=1}^{y}{\sum\limits_{k=1}^{i}{\sum\limits_{l=1}^{j}{d[k][l]}}}}$$
$$=\sum\limits_{i=1}^{x}{\sum\limits_{k=1}^{i}{\sum\limits_{j=1}^{y}{((y+1)d[k][j]-j*d[k][j])}}}$$
$$=\sum\limits_{i=1}^{x}{\sum\limits_{j=1}^{y}{(x+1)(y+1)d[i][j]-(x+1)*j*d[i][j]-(y+1)*i*d[i][j]+i*j*d[i][j]}}$$
于是二维树状数组维护d,id,jd和ijd就行了
高级用法以后慢慢填